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Système binaire

Le système binaire est la base de toute représentation d’information dans un ordinateur.

Tour de magie

Nous commençons ce chapitre par un tour de magie. Pensez à un nombre entre 0 et 15, mais ne le dites pas.

Votre nombre, se trouve-t-il sur la

  • première carte ? – oui

  • deuxième carte ? – oui

  • troisième carte ? – non

  • quatrième carte ? – oui

Alors vous avez pensé à 13.

Encore une fois!
Pensez à une autre nombre entre 0 et 15.
Votre nombre, se trouve-t-il sur la

  • première carte ? – non

  • deuxième carte ? – oui

  • troisième carte ? – oui

  • quatrième carte ? – oui

Alors vous avez pensé à 7.

Astuce: Vous pouvez imprimer ces 4 cartes pour présenter le tour de magie à vos amis.

  • faites un clic-droit sur l’image

  • choisissez Ouvrir l’image dans un novel onglet

  • imprimez la page

Comment ça fonctionne?

Pour vous donner un indice, nous ajoutons à ces nombres leur code binaire.

Regardez bien ce qui est commun aux séquences binaires de chaque carte.
Vous trouvez l’aspect commun ?

Code binaire

Un vrai magicien ne divulgue jamais comment fonctionne son tour de magie.
Mais vous avez maintenant assez d’indices pour trouver la solution par vous mêmes.

Pour vous donner encore un indice, pensez de nouveau à un nombre entre 0 et 15, mais cette fois ne le représentez pas en décimal, mais avec un code binaire de 4 chiffres (lu de droite à gauche).

Voici les quatre questions. Est-ce que le

  • premier chiffre est 1 - oui

  • deuxième chiffre est 1 - oui

  • troisième chiffre est 1 - non

  • quatrième chiffre est 1 - oui

Alors, le nombre auquel vous avez pensé est 1101.
Ceci correspond au nombre décimal 13 (comme dans l’exemple du début).

En fait chaque symbole du code binaire correspond à un puissance de 2.

\(2^3\)

\(2^2\)

\(2^1\)

\(2^0\)

8

4

2

1

1

1

0

1

Pour trouver la valeur du code 1101 nous devons additionner leur poid, donc 8 + 4 + 1 = 13.

L’autre exemple était:

\(2^3\)

\(2^2\)

\(2^1\)

\(2^0\)

8

4

2

1

0

1

1

1

Pour trouver sa valeur nous faisons le calcul 4 + 2 + 1 = 7.

Exercice
Quelle est la valeur du code binaire 1010 ? Du code binaire 10000 ?

La fonction bin

Python possède une fonction bin() qui transforme un décimal en binaire.
Par exemple voici le code binaire de 9.

bin(9)

'0b1001'

Dans la réponse, le terme 0b est ajouté au début du code binaire pour le différencier d’un nombre décimal. En utilisant la fonction bin() nous pouvons maintenant imprimer les nombres de 0 à 15.

for i in range(8):
    print(i, '=', bin(i))

0 = 0b0
1 = 0b1
2 = 0b10
3 = 0b11
4 = 0b100
5 = 0b101
6 = 0b110
7 = 0b111

En Python nous pouvons représenter un nombre sous sa forme binaire en le précédent de 0b. Voici la séquence 101 en binaire et en décimal.

0b101, 101

(5, 101)

Exercice
Quel est le code binaire pour 11.

La chaîne avec formatage

La chaîne avec formatage (f-string en anglais) est très utile pour afficher des codes binaires, et c’est une méthode plus puissante que la fonction bin().

Un f-string est une chaîne de caractères qui

  • commence par f

  • contient des accolades {} (alt+8/9) qui peuvent contenir des variables avec description de format

Par exemple:

  • {i:2} imprime la variable i sur 2 positions (en décimal)

  • {i:4b} imprime la variable i sur 4 positions en binaire

Ceci nous permet d’aligner les nombres décimaux et binaires à droite.

for i in range(16):
    print(f'{i:2} = {i:4b}')

 0 =    0
 1 =    1
 2 =   10
 3 =   11
 4 =  100
 5 =  101
 6 =  110
 7 =  111
 8 = 1000
 9 = 1001
10 = 1010
11 = 1011
12 = 1100
13 = 1101
14 = 1110
15 = 1111

Au lieu de mettre un espace, le zéro est fréquemment utilisé pour créer des nombres qui ont tous la même longueur. Le f-string permet de choisir le symbole de rembourrage (padding).

  • {i:02} imprimer la variable i sur 2 positions (rembourré avec des 0)

  • {i:04b} imprimer la variable i sur 4 positions en binaire (rembourré avec des 0)

for i in range(16):
    print(f'{i:02} = {i:04b}')

00 = 0000
01 = 0001
02 = 0010
03 = 0011
04 = 0100
05 = 0101
06 = 0110
07 = 0111
08 = 1000
09 = 1001
10 = 1010
11 = 1011
12 = 1100
13 = 1101
14 = 1110
15 = 1111

Exercice
Affichez les codes binaires pour les nombres 250 à 255.

Programmer un quiz

Nous allons créer un quiz pour apprendre le code binaire. Nous commençons par créer une liste de nombres que nous voulons utiliser dans le quiz.

nombres = list(range(8))
nombres

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

Du module random nous importons la fonction shuffle. Cette fonction permet de réarranger une liste de façon aléatoire. L’avantage de cette méthode est que chaque élément est testé une seule fois.

from random import shuffle
shuffle(nombres)
nombres

[6, 4, 1, 3, 0, 2, 7, 5]

Voici le code de ce quiz. Vous pouvez le copier et vous entrainer à apprendre le code binaire.

from random import shuffle

n = 8
nombres = list(range(n))
shuffle(nombres)

print('Quiz: binaire en décimal')

score = 0
for i in nombres:
    reponse = input(f'{i:04b}:')
    if int(reponse) == i:
        score += 1
    else:
        print('faux! réponse correcte =', i)
        
print('score =', score, 'sur', n)

Quiz: binaire en décimal

0001: 1
0110: 6
0111: 7
0011: 3
0101: 5
0000: 8

faux! réponse correcte = 0

0010: 2
0100: 4

score = 7 sur 8

Attention:
Il est possible que l’indicateur de cellule reste à [*] ce qui indique que l’exécution n’est pas terminée.
En haut à droite vous avec Python 3 ⚫️ (noyau en tour d’exécution).
Si nécessaire vous pouvez interrompre l’exécution avec le bouton ◼️.

Exercice

Créez le quiz inverse, où il faut trouver le code binaire pour un nombre donné en format décimal.

Les chiffres

Nous appelons base b le nombre de chiffres utilisé pour représenter un nombre.

Dans le système de base 10 (système décimal) nous utilisons les chiffres

'0123456789'

Dans le système de base 2 (système binaire) nous utilisons seulement

'01'

et dans le système héxadécimal nous utilisons 16 symboles.

'0123456789ABCDEF'

Le système positionnel

Dans un système positionnel la valeur d’un symbole est déterminée par

  • sa propre valeur,

  • sa position dans la séquence.

Un nombre est représenté par une séquence de chiffres. Par exemple:

n = '2021'

La valeur d’un chiffre dépend de sa position.

  • le premier 2 a la valeur 2000

  • le deuxième 2 a la valeur 20

Nous pouvons représenter un nombre n dans une base b par une séquence de chiffres c dont les indices i vont de 0 à m-1.

\[ c_{m-1} ... c_2 c_1 c_0 \]

La valeur de cette séquence des chiffres est

\[ n_b = \sum_{i=0}^{m-1} {c_i \cdot b^i} \]

La valeur du nombre est donc la somme des valeur du chiffre \(c_i\) multipliée par son poids \(b^i\).

Indexage

La fonction range(m) nous donne la liste des indices 0 à m-1 dont nous aurons besoin pour les calculs.

m = 8
list(range(m))

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

Seulement, nous avons pris l’habitude d’écrire les nombres de droite à gauche.

\[ c_{m-1} ... c_2 c_1 c_0 \]

Donc l’indice m-1 se trouve à gauche et l’indice 0 à droite.
L’opérateur de tranche [::-1] permet d’inverser l’ordre d’une liste.

list(range(m))[::-1]

[7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]

Le poids des positions

Le poids du chiffre \(c_i\) est \(b^i\), donc la puissance de la base b et sa position i.
Les poids pour 5 positions décimales est

[10**i for i in range(5)][::-1]

[10000, 1000, 100, 10, 1]

Pour reprendre le nombre 2021 sa décomposition est

2*1000 + 0*100 + 2*10 + 1

2021

Les poids du système binaire sont des puissances de 2.

poids = [2**i for i in range(8)][::-1]
print(*poids, sep='\t')

128	64	32	16	8	4	2	1

Exercice
Affichez 5 poids du système octal (base 8).

Du binaire en décimal

Nous pouvons donc calculer la valeur de la séquence binaire et l’exprimer en décimal.
Affichons les 8 poids binaires et les 8 chiffres binaires ensemble.

c = '10010100'
print(*poids, sep='\t')
print(*c, sep='\t')

128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	0	1	0	1	0	0

La valeur représentée par 10010100 correspond à

128 + 16 + 4

148

Nous pouvons visualiser cet algorithme en Python. L’indexe c[m-1-i] tient compte du sens d’indexation de la séquence des chiffres de droite à gauche.

c = '10010100'
m = len(c)
n = 0

for i in range(m):
    if c[m-1-i] == '1':
        print('+', 2**i)
        n += 2**i
        
print('=', n)

+ 4
+ 16
+ 128
= 148

Nous pouvons maintenant définir une fonction bin2dec qui fait la conversion chaîne binaire vers nombre décimal.

def bin2dec(c):
    m = len(c)
    n = 0
    for i in range(m):
        if c[m-1-i] == '1':
            n += 2**i
    return n

bin2dec('10010100')

148

Python avancé

La compréhension de liste permet d’écrire la liste des termes \(c_i b^i\) en une seule ligne.

[int(c[m-1-i]) * 2**i for i in range(m)]

[0, 0, 4, 0, 16, 0, 0, 128]

La fonction sum permet de sommer les éléments de cette liste.

sum([int(c[m-1-i]) * 2**i for i in range(m)])

148

La notation Python est pratiquement identique à la formule mathématique.

\[ n_b = \sum_{i=0}^{m-1} {c_i \cdot b^i} \]

Du décimal en binaire

L’algorithme de conversion décimale en binaire utilise

  • division entière //

  • division modulo %

n = 148

c = ''
while n > 0:
    c = str(n % 2) + c
    n = n // 2
    
print(c)

10010100

Nous en créons une fonction

def dec2bin(n):
    c = ''
    while n > 0:
        c = str(n % 2) + c
        n = n // 2
    return c

dec2bin(148)

'10010100'

Exercice

Créez une fonction qui permet de choisir la base, par exemple 3, 4 et 5 et convertit du système décimal vers ce système.

Système unaire Nombres